Formelsammlung
HS 2025
Formelsammlung: VL Statistik 1
Die folgenden Formelsammlung gibt eine Übersicht über die mathematischen Formeln und Definitionen, die im Rahmen der Vorlesung “Statistik 1” eingeführt und behandelt wurden.
Es wird erwartet, dass Sie mit den in der Formelsammlung aufgelisteten Formeln und Definitionen einfache Rechnungen durchführen können und diese mit Hilfe der Statistiksoftware R & RStudio, oder einem der für die Prüfung zugelassenen Taschenrechner auf einfach Rechenbeispiele wie in den Übungen anwenden können.
Im Laufe des Semesters werden Schritt für Schritt weitere Formeln hinzugefügt werden.
Grundlegenden Rechenoperatoren
Summe
\[ \sum_{i = 1}^j x_i = x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_j \]
Die Summe alle Werte der Variablen \(x\) begonnen ab dem Startwert \(i = 1\) bis zu dem Endwert \(j\).
Deskriptive Statistik
Häufigkeitsverteilung
Absolute Häufigkeit
\(n_j =\) absolute Häufigkeit einer Kategorie \(j\) wird mit, wobei: \(\sum_{j=1}^k n_j = n\) die Gesamtzahl an Beobachtungen \(n\) für eine Menge von \(k\) Kategorien ergibt
Relative Häufigkeit
\[ h_j = \frac{n_j}{n} \]
mit der absoluten Häufigkeit \(n_j\) der Kategorie \(j\) und der Gesamtzahl an Beobachtungen \(n\)
Kumulierte Häufigkeiten
\[ kn_j = \sum_{i=1}^j n_i \]
Summe der absoluten Häufigkeiten \(n_i\) von der kleinsten Kategorie \(i = 1\) bis zur Kategorie \(j\).
diese Summe kann analog auch für relative Häufikeiten berechnet werden:
\[ kh_j = \sum_{i=1}^j h_i = \frac{kn_j}{n} = \frac{\sum_{i=1}^j n_i}{n} \]
Masse der zentralen Tendenz
Modus
Der Modus (engl. Mode) ist der häufigste Werte einer primären Häufigkeitsverteilung.
Für kontinuierliche (metrische) Variablen ist der Modus das Maximum der Häufigkeitsdichte
Median
Mittelwert
\[ \overline{x} = \frac{\sum_{m = 1}^{n} x_m}{n} = M \] mit eine Gesamtzahl von \(n\) Messweten \(x_m\)
Dispersionsmasse
Relativer Informationsgehalt
\[ H = - \frac{1}{\ln{k}} \cdot \sum_{j = 1}^{k} h_j \cdot \ln{h_j} \]
für eine Häufigkeitsverteilung mit \(k\) unterschiedlichen Kategorien und den relativen Häufigkeiten \(h_j\) für jede einzelne Kategorie \(j\)
Interquartilsabstand (bzw. Interquartilerange, IQR)
\[ IQR = Q_3 - Q_1 \]
mit: \[ Q_i = x_q; \quad \text{und:} \quad q = \frac{i}{4} \cdot n \]
Für aufsteigend sortierte Messwerte \(x\) gibt \(q\) den Messwert an, der die Quartilgrenze des \(i\)-ten Quartils darstellt.
Mittlere Absolute Medianabweichung (MAD)
\[ MAD = \frac{\sum_{m=1}^n |x_m - Md_x|}{n} \] mit der Summe \(\sum\) der absoluten Abweichungen der Messwerte \(x_m\) vom Median \(Md\) der Variable \(x\) normiert an der Anzahl an Messwerten \(n\)
Varianz / Standardabweichung
die Varianz ergibt sich aus dem an der Anzahl an Messwerten \(n\) normierten zentralen / zentrierten Moment zweiter Ordnung:
\[ s_x^2= \frac{\sum_{m = 1}^n (x_m - \overline{x})^2}{n} \]
die Standardabweichung ergibt sich indem man die Quadratwurzel der Varianz zieht:
\[ s_x = \sqrt{s_x^2} = \sqrt{\frac{\sum_{m = 1}^n (x_m - \overline{x})^2}{n}} \]
Schiefe
die Schiefe ergibt sich aus dem an der Anzahl an Messwerten \(n\) normierten und der Standardabweichung \(s_x\) standardisierten zentralen / zentrierten Moment dritter Ordnung:
\[ Sch = \frac{1}{n} \cdot \frac{\sum_{m=1}^n (x_m - \overline{x})^3}{s_x^3} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{m=1}^n \left( \frac{x_m - \overline{x}}{s_x} \right)^3 \]
Stichprobenmomente
Das \(k\)-te Stichprobenmoment \(m\) für eine Variable \(X\) ist definiert als:
\[ m_k = \frac{\sum_{i = 1}^n X_i^k}{n} \]
das zentrale oder zentrierte \(k\)-te Stichprobenmoment \(m\) für eine Variable \(X\) ist definiert als:
\[ m_k = \frac{\sum_{i = 1}^n (X_i - \overline{X})^k}{n} \]
mit dem Mittelwert \(\overline{X}\)
Wahrscheinlichkeitstheorie
LaPlace Wahrscheinlichkeit
\[ P(A) = \frac{N_A}{K} \]
für ein Zufallsexperiment bei dem die Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse gleich ist (= LaPlace Experiment), mit der Anzahl für das Ereignis A günstigen Ergebnissen \(N_A\), und der Gesamtzahl an Ergebnissen \(K\) im Ergebnisraum \(\Omega\)
Kombinatorik
mit Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge
\[ K = k^n \] mit \(k\) gleich der Anzahl der Ergebnisse für eine einzelne Ziehung, und \(n\) Ziehungen aus der Urne
ohne Zurücklegen, mit Berücksichtigung der Reihenfolge
\[ K = \frac{k!}{(k-n)!} \]
mit \(x! = x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot \ldots \cdot (k -(k-1))\), gesprochen \(x\)-Fakultät. Zum Beispiel: \(8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot 1 = 40320\)
ohne Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
\[ K = \frac{k!}{(k-n)! \cdot n!} = \binom{k}{n} \]
ist der Binomialkoeffizient \(\binom{k}{n}\), gesprochen \(k\) über \(n\)
mit Zurücklegen, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
\[ K = \frac{(k + n -1)!}{(k-1)! \cdot n!} \]
Rechenregeln: Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit: Teilmengen
Ist das Ereignis \(A\) eine Teilmenge des Ereignisses \(B\), gilt:
\[ P(B) > P(A) \]
Komplementäre Wahrscheinlichkeit
\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]
mit der Wahrscheinllichkeit, dass das Ereignis A nicht eintritt \(\overline{A}\)
Wahrscheinlichkeit: Vereinigungsmengen
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]
Bernoulli Theorem
\[ \lim_{n \rightarrow \infty} P(|h(A)-P(A)|< \epsilon) = 1 \]
geht die Anzahl an Beobachtungen \(n\) gegen unendlich \(\infty\), dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die absolute Differenz der relativen Häufigkeit von A \(h(A)\) und der wahren Wahrscheinlichkeit von A \(P(A)\) kleiner als ein beliebig kleiner Wert / Fehler \(\epsilon\) gleich 1.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Stochastische Unabhängigkeit
zwei Ereignisse \(A\) und \(B\) sind stochastisch voneinander unabhängig, wenn entweder das Multiplikations-Theorem gilt:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
oder die bedingte Wahrscheinlichkeit, gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit ist:
\[ P(B|A) = P(B) \]
Bayes Theorem
\[ P(A|B) = \frac{P(B|A) * P(A)}{P(B)} \]
wobei:
\[ P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|\neg A) * P(\neg A) \]
Odds (Chancen)
Odds (bzw. Chancen) lassen sich aus Wahrscheinlichkeiten berechnen:
\[ O = \frac{p}{1-p}; \quad p = \frac{O}{O+1} \]
Bayes Faktor
Der Bayes Faktor gibt das Verhältnis der Wahrscheinlichkeiten bestimmter Daten \(D\) unter unterschiedlichen Hypothesen \(H_i\) an. Wenn Sie zum Beispiel einen medizinischen Test betrachten, dann können Sie den Bayes Faktor für die Wahrscheinlichkeite einer Krankheit \(K^+\) geben der Test ist positiv \(T^+\), folgenderemassen berechnen:
\[ BF_{K^+} = \frac{P(T^+|K^+)}{P(T^+|K^-)} \] den Bayes Faktor können Sie zur Aktualisierung der Prior Odds in die Posterior Odds nutzen:
\[ O_{Post(K^+)} = O_{Prior(K^+)} \cdot BF_{K^+} \]
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Binomialverteilung
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ist:
\[ f(x) = \binom{n}{x} \cdot \pi^x \cdot (1-\pi)^{n-x} \] wobei \(n\) der Anzahl ziehungen entspricht, und \(\pi\) die zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg \(x\) darstellt.
Der Erwartungswert der Binomialverteilung ergibt sich aus:
\[ E(X) = n \cdot \pi \]
und die Varianz ergibt sich aus:
\[ Var(X) = n \cdot \pi \cdot (1-\pi) \]
mit zunehmenden \(n\) und Wahrscheinlichkeiten abseits der extreme: \(0.1 > \pi > 0.9\) nähert sich die Binomialverteilung der Normalverteilung an. Für sehr grosse \(n > 250\) gilt das auch für extreme Wahrscheinlichkeiten \(\pi < 0.1\) oder \(\pi > 0.9\)
Exponentialverteilung
Die Dichtefunktion einer Exponentialverteilung lautet für \(x \geq 0\):
\[ f(x) = \lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x} \]
wobei \(\lambda\) die Rate des Abfalls der Wahrscheinlichkeitsdichte bestimmt.
Der Erwartungswert der Binomialverteilung ergibt sich aus:
\[ E(X) = \frac{1}{\lambda} \]
und die Varianz ergibt sich aus:
\[ VAR(X) = \frac{1}{\lambda^2} \]
Normalverteilung
Die Dichtefunktion der Normalverteilung für \(x \in \mathbb{R}\) lautet:
\[ f(x) = \frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} \]
mit dem Erwartungswert \(\mu\), und der Varianz \(\sigma^2\)
Eine Normalverteilte Variable \(X\) kann in eine Standardnormalverteilte Variable \(Z\) mit dem Erwartungswert \(\mu = 0\) und der Varianz \(\sigma^2 = 1\) transformiert werden:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma}; \quad X_p = Z_p \cdot \sigma + \mu \]
Inferenzstatistik: Definitionen
Hypothesentests
Nullhypothesentests: Fischer
Ungerichtete Nullhypothese: \(H_0: \hat{\theta} = \theta_0\)
\(\rightarrow\) Der Populationsschätzer eines Paramters \(\hat{\theta}\) unterscheidet sich nicht von einem Populationswert unter der Nullhypothese \(\theta_0\). Typischerweise wird \(\theta_0 = 0\) angenommen.
Gerichtete Nullhypothese: \(H_0: \hat{\theta} \leq \theta_0\) oder \(H_0: \hat{\theta} \geq \theta_0\)
\(\rightarrow\) Der Populationsschätzer eines Paramters \(\hat{\theta}\) ist kleiner oder gleich bzw. grösser oder gleich einem Populationswert unter der Nullhypothese \(\theta_0\). Typischerweise wird \(\theta_0 = 0\) angenommen.
Kritischer Testwert
\(\rightarrow\) Wert einer Teststatistik \(T\) (z.Bsp: \(z\) oder \(t\)), der gerade noch mit der Nullhypothese vereinbar ist. Für ein bestimmtest Signifikanzniveau \(\alpha\) gilt:
\[ \text{ungerichtete Hypothese:} \quad |T_{krit}| = F^{-1}(p = 1-\alpha/2) \]
\[ \text{gerichtete Hypothese:} \quad |T_{krit}| = F^{-1}(p = 1-\alpha) \]
mit der Quantilfunktion \(F^{-1}\) der entsprechenden Verteilung der jeweiligen Teststatistik.
\(p\)-Wert
Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Ergebnis bzw. eine bestimmte empirische Teststatistik \(T_{emp}\) oder extremere Ergebnisse unter Annahme der Nullhypothese zu beobachten.
\[ \text{ungerichtete Hypothese:} \quad p = 2\cdot (1 - F(|T_{emp})|) \]
\[ \text{gerichtete Hypothese:} \quad p = 1 - F(|T_{emp}|) \]
mit der Verteilungsfunktion \(F\) der entsprechenden Verteilung der jeweiligen Teststatistik.
Binäres Entscheidungskonzept: Neyman & Pearson
Nutzt die gleichen Hypothesen wie das Konzept des Nullhypothesentests von Fischer ergänzt diese aber mit einer komplementären Alternativhypothese \(H_1\)
bei Ungerichteter Nullhypothese, gilt: \(H_1: \hat{\theta} \neq \theta_0\)
\(\rightarrow\) Der Populationsschätzer eines Paramters \(\hat{\theta}\) unterscheidet sich von einem Populationswert unter der Nullhypothese \(\theta_0\). Typischerweise wird \(\theta_0 = 0\) angenommen.
bei Gerichteter Nullhypothese: \(H_1: \hat{\theta} > \theta_0\) oder \(H_0: \hat{\theta} < \theta_0\)
\(\rightarrow\) Der Populationsschätzer eines Paramters \(\hat{\theta}\) ist kleiner bzw. grösser als der Populationswert unter der Nullhypothese \(\theta_0\). Typischerweise wird \(\theta_0 = 0\) angenommen.
\(\alpha\)-Fehler oder Fehler 1. Art
\(\rightarrow\) Wahrscheinlichkeit mit der ich die Alternativhypothese annehme, obwohl in der Population die Nullhypothese gilt.
\(\beta\)-Fehler oder Fehler 2. Art
\(\rightarrow\) Wahrscheinlichkeit mit der ich die Nullhypothese annehme, obwohl in der Population die Alternativhypothese gilt.
Der \(\beta\)-Fehler kann nur unter Annahme eines bestimmten Effekts \(\epsilon\) bestimmt werden.
Parameterschätzung
Zentraler Grenzwertsatz
Für eine Stichprobe von \(N\) unabhängigen Werten einer Zufallsvariable \(X\) aus einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilung \(\mathcal{D}\) mit endlicher Varianz \((0 < \sigma^2 < \infty)\): \(X \sim \mathcal{D}(\theta)\) gilt mit wachsendem \(N\) \((N \rightarrow \infty)\) konvergiert:
- die Summe der beobachteten Werte \(\sum X\) zu einer Normalverteilung \(\mathcal{N}\)
- mit dem Erwartungswert: \(\mu_{\sum} = N \cdot \mu_{\mathcal{D}}\)
- und der Standardabweichung: \(\sigma_{\sum} = \sqrt{N} \cdot \sigma_{\mathcal{D}}\)
Standardfehler des Mittelwerts
Für eine Stichprobe mit \(N\) Werten einer Normalverteilte Variable \(X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma_X)\) ist der Standarfehler des Mittelwerts \(\bar{X} = \frac{\sum X}{N}\):
\[ \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma_X}{\sqrt{N}} \]
Für eine Stichprobe mit \(N\) Werte einer Zufallsvariable \(Y\), die einer beliebigen Wahrscheinlichkeitsverteilung \(\mathcal{D}\) mit endlicher Varianz (\(0 < \sigma^2 < \infty\)) folgt, konvergiert der Standardfehler des Mittelwerts \(\bar{y} = \frac{\sum Y}{N}\) mit wachsender Stichprobengrösse \(N \rightarrow \infty\) gegen:
\[ \sigma_{\bar{y}} = \frac{\sigma_Y}{\sqrt{N}} \]
Standardfehler des Medians
Für eine Stichprobe mit \(N\) Werten einer Normalverteilte Variable \(X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma_X)\) ist der Standarfehler des Medians:
\[ \sigma_{Md} = 1.253 \cdot \frac{\sigma_X}{\sqrt{N}} \]
Konfidenzintervalle
bei bekannten Populationsparametern einer Zufallsvariable \(X\) aus einer Normalverteilten Variable: \(X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma_X)\) berechnet sich das Konfidenzintervall, für die Konfidenz \((1-\alpha)\) mit Hilfe der \(z\)-Werte:
mit auf beiden Seiten geschlossenen Grenzen, berechnen sich die Grenzen:
\[ \mu \pm z_{1-\alpha/2} * \sigma \]
für nach unten oder nach oben geschlossene Grenzen, berechnet sich die Grenze:
\[ \mu \pm z_{1-\alpha} * \sigma \]
bei unbekannten Populationsparametern einer Zufallsvariable \(X\) aus einer Normalverteilten Variable: \(X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma_X)\) berechnet sich das Konfidenzintervall, für die Konfidenz \((1-\alpha)\) mit Hilfe der \(t\)-Werte aus \(t(df = N-1,0,1)\) und der Stichprobengrösse \(N\) aus der die Populationsparameter geschätzt werden:
mit auf beiden Seiten geschlossenen Grenzen, berechnen sich die Grenzen:
\[ \hat{\mu} \pm t_{1-\alpha/2}(df = N-1) * \hat{\sigma} = \bar{x} \pm t_{1-\alpha/2}(df = N-1) \cdot \frac{s_X}{(N-1)} \]
für nach unten oder nach oben geschlossene Grenzen, berechnet sich die Grenze:
\[ \hat{\mu} \pm t_{1-\alpha}(df = N-1) * \hat{\sigma} = \bar{x} \pm t_{1-\alpha}(df = N-1) \cdot \frac{s_X}{(N-1)} \]
Gruppenvergleiche
Metrische Variablen
Einstichproben \(t\)-Test
für eine Stichprobe mit \(N\) Werten aus einer Normalverteilten Variable: \(X \sim \mathcal{N}(\mu_X, \sigma_X^2)\), berechnet sich die Teststatistik des Einstichproben \(t\)-Tests:
\[ t_{emp} = \frac{\hat{\mu}_X - \mu_0}{\hat{\sigma}_{\hat{\mu}_X}} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\hat{\sigma}_{\bar{x}}} \]
mit:
\[ \hat{\sigma}_{\bar{x}} = \frac{\hat{\sigma}_X}{\sqrt{N}} \]
und den Freiheitsgraden \(df = N-1\)
\(t\)-Test für unabhängige Stichproben
für unabhängige Stichproben aus zwei Gruppen \(i = 1,2\) mit \(N_1 \& N_2\) Werten, die einer Normalverteilung folgen: \(X_{ip} \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2)\), berechnet sich die Teststatistik des \(t\)-Tests für unabhämngige Stichproben folgendermassen:
\[ t_{emp} = \frac{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2}{\hat{\sigma}_{\hat{\mu}_1 - \hat{\mu}_2}} = \frac{\bar{x_1} - \bar{x_2}}{\hat{\sigma}_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}} \]
mit:
\[ \hat{\sigma}_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} = \sqrt{\frac{\hat{\sigma}_{inn}^2}{N_1} + \frac{\hat{\sigma}_{inn}^2}{N_2}} \]
und:
\[ \hat{\sigma}_{inn}^2 = \frac{\hat{\sigma}_1^2 \cdot(N_1 -1) + \hat{\sigma}_2^2 \cdot(N_2-1)}{(N_1 -1) + (N_2 - 1)} \]
und den Freiheitsgraden \(df = N_1 + N_2 - 2 = (N_1 -1) + (N_2 - 1)\)
Beachten Sie: Die Reihenfolge mit der die Differenz der Mittelwerte berechnet wirkt ist in der Regel nicht relevant. Sie müssen nur darauf achten die gerichteten Hypothesen entsprechend zu spezifizieren.
\(t\)-Test für abhängige Stichproben
für abhängige Stichproben mit \(N\) Werten, deren Differenz \(X_D = X_1 - X_2\) einer Normalverteilung folgt: \(X_D \sim \mathcal{N}(\mu_D, \sigma_D^2)\), berechnet sich die Teststatistik des \(t\)-Tests für abhängige Stichproben:
\[ t_{emp} = \frac{\hat{\mu}_D}{\hat{\sigma}_{\mu_D}} = \frac{\bar{x}_D}{\hat{\sigma}_{\bar{x}_D}} \]
mit:
\[ \hat{\sigma}_{\bar{x}_D} = \frac{\hat{\sigma}_{X_D}}{\sqrt{N}} \]
und den Freiheitsgraden \(df = N-1\)
Diskrete Variablen
\(\chi^2\)-Test: Eine Stichprobe
Für eine Häufigkeitsverteilung der beobachteten Häufigkeiten \(n\) mit \(k\) Kategorien:
\[ \chi^2 = \sum^k_{j = 1} \frac{(n_j - \epsilon_j)^2}{\epsilon_j} \]
und den Freiheitsgraden: \(df = k -1\)
\(\chi^2\)-Test: Zwei Stichproben
Für eine Häufigkeitsverteilung von beobachteten Häufigkeiten \(n\) mit \(k\) Kategorien und \(p\) Gruppen berechnet sich der empirische \(\chi^2\) Wert:
\[ \chi^2 = \sum_{i = 1}^p \sum_{j = 1}^k \frac{(n_{ij}-\epsilon_{ij})^2}{\epsilon_{ij}} \]
und den Freiheitsgraden: \(df = (p-1) \cdot (k - 1)\)
Unter der Annahme das die Merkmale der Kreuztabelle unabhängig sind berechnet sich die geschätzte erwartete Häufigkeit:
\[ \hat{\epsilon}_{ij} = \frac{n_i \cdot n_j}{N} \]
Zusammenhangsmasse
Kovarianz
als deskriptive Statistik in einer Stichprobe mit \(N\) Werten berechnet sich die Kovarianz zwischen zwei kontinuierlichen Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) wie folgt:
\[ s_{XY} = \frac{\sum_{i = 1}^N (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N} \]
als Populationsschätzer für die Kovarianz in der Population:
\[ \hat{\sigma}_{XY} = \frac{\sum_{i = 1}^N (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{N-1} \]
Produkt-Moment Korrelation
in der Stichprobe berechnet sich die Produkt-Moment Korrelation zwischen zwei kontinuierlichen Zufallsvariablen \(X\) und \(Y\) folgendermassen:
\[ r_{XY}=\frac{s_{XY}}{s_X \cdot s_Y} \]
der Populationsschätzer für die Korrelation in der Population ist:
\[ \hat{\rho}_{XY} = \frac{\hat{\sigma}_{XY}}{\hat{\sigma}_X \cdot \hat{\sigma}_Y}= \frac{\frac{N-1}{N} \cdot s_{XY}}{\sqrt{\frac{N-1}{N}}s_X \cdot \sqrt{\frac{N-1}{N}}s_Y} = \frac{s_{XY}}{s_X \cdot s_Y} = r_{XY} \]
Teststatistik: Unkorreliertheit von zwei Variablen
für einen Hypothesentest einer Korrelation \(r_{XY}\) gegen null, d.h. \(\rho_0 = 0\) können wir die folgenden Teststatistik berechnen:
\[ t_{r} = \frac{r_{XY}\sqrt{N-2}}{\sqrt{1-r_{XY}^2}} \]
mit den Freiheitsgraden: \(df = N-2\)
Fisher’s Z Transformation
für den Vergleich von zwei Korrelationen aus unabhängigen Stichproben, wenden wir Fisher’s Z Transformation an:
\[ Z_r = \frac{1}{2} \ln\left(\frac{1 + r_{XY}}{1-r_{XY}}\right) \]
wobei Fisher’s Z werte anhand der folgenden Formel in Korrelationswerte zurück transformiert werden können:
\[ r = \frac{e^{2 \cdot Z_r}-1}{e^{2 \cdot Z_r}+1} \]
Fisher’s Z Werte folgen approximativ einer Normalverteilung mit \(Z_r \sim \mathcal{N}(\mu_r = Z_{\rho}, \sigma^2_Z = \frac{1}{N-3})\)
z-Test: Test einer Korrelation gegen eine beliebige anderen Korrelation
um eine Korrelation \(r_{XY}\) gegen eine Korrelation unter der Nullhypothese \(\rho_0\) zu testen berechnen wir:
\[ z_{r} = \frac{Z_{r}-Z_{\rho_0}}{\sigma_{Z}}; \quad \sigma_Z = \frac{1}{\sqrt{N-3}} \]
Mit den Fisher’s Z-Transformierten werten der Korrelation in der Stichprobe \(Z_r\) und der Korrelation unter der Nullhypothese \(Z_{\rho_0}\).
Die Teststatistik \(z_r\) folgt approximativ einer Standardnormalverteilung \(x \sim \mathcal{N}(\mu = 0, \sigma = 1)\)
Punkt-Biseriale Korrelation
Für eine Korrelation zwischen eine Dichotomen Variable und einer kontinuierlichen Variable können wir die Punkt-Biseriale Korrelation auf Basis des \(t\)-Wertes für den Mittelwertsvergleich der beiden Gruppen berechnen:
\[ r_{pb} = \frac{t}{\sqrt{(t^2 + df)}} \]
Phi-Koeffizient
für die Berechnung der Korrelation einer 2x2 Häufigkeitstabelle können wir die Korrelation zwischen den beiden Variablen mit dem Phi-Koeffizient \(\phi\) aus dem \(\chi^2\)-Wert für den Test auf unabhängigkeit berechnen:
\[ \phi = \sqrt{\frac{\chi^2}{N}} \]
Fehler & Fragen
Sollten Ihnen Fehler in der Formelsammlung auffallen, dann prüfen Sie diese bitte zuerst mit den Folien der Vorlesung, sowie den in der Pflichtliteratur angegebenen Formeln ab. Wenn diese Prüfung Ihre Fehlervermutung bestätigt, dann schreiben Sie bitte eine Mail unter der Angabe der Formel an: gidon.frischkorn@unilu.ch